التعريف: إذا كان الجميع ن є ن، محاذاة x ن є ن،ثم يقولون ذلك
شكل عددي اللاحقة.
- أفراد التسلسلات
- جنرال لواء عضو التسلسلات
يشير التعريف المقدم إلى أن أي تسلسل رقمي يجب أن يكون لانهائيًا ، ولكن لا يعني أن جميع المصطلحات يجب أن تكون أرقامًا مميزة.
يعتبر التسلسل الرقمي معطى، إذا تم تحديد قانون يمكن من خلاله العثور على أي عضو في التسلسل.
أعضاء أو عناصر من تسلسل (1) مرقمة بجميع الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي للأرقام. بالنسبة إلى n + 1> n-1 ، يتبع المصطلح (يسبق) المصطلح ، بغض النظر عما إذا كان الرقم نفسه أكبر من الرقم أو أقل منه أو حتى مساويًا له.
التعريف: متغير x يأخذ بعض التسلسل (1) القيم ، ونحن - بعد Ch. Meray - سوف ندعو اختيار.
في دورة الرياضيات المدرسية ، يمكنك العثور على متغيرات من هذا النوع فقط ، مثل الخيارات.
على سبيل المثال ، تسلسل مثل
(حسابي) أو من النموذج
(المتوالية الهندسية)
المصطلح المتغير لهذا التقدم أو ذاك هو اختيار.
فيما يتعلق بتعريف محيط الدائرة ، عادة ما يتم النظر في محيط المضلع المنتظم المدرج في دائرة ، والذي تم الحصول عليه من مسدس عن طريق مضاعفة عدد الأضلاع على التوالي. وبالتالي ، يأخذ هذا المتغير تسلسل القيم:
نذكر أيضًا التقريب العشري (بالافتقار) إلى الدقة المتزايدة باستمرار. يأخذ سلسلة من القيم:
ويقدم أيضًا خيارًا.
غالبًا ما يُرمز إلى المتغير x الذي يمر عبر المتسلسلة (1) ، بتعريفه بالعضو المتغير ("المشترك") في هذا التسلسل.
أحيانًا يُعطى المتغير x n بما يشير إليه تعبير x n مباشرةً ؛ لذلك ، في حالة التقدم الحسابي أو الهندسي ، لدينا ، على التوالي ، x n = a + (n-1) d أو x n = aq n-1. باستخدام هذا التعبير ، يمكنك حساب أي قيمة للمتغيرات على الفور برقمها المحدد ، دون حساب القيم السابقة.
بالنسبة لمحيط مضلع منتظم منقوش ، فإن هذا التعبير العام ممكن فقط إذا قدمنا الرقم p ؛ بشكل عام ، يُعطى المحيط p m لـ m-gon المنقوش المنتظم بواسطة الصيغة
التعريف 1: التسلسل العددي (x n) يسمى مقيد من أعلى (من الأسفل) إذا كان هذا الرقم موجودًا م (ر)أن أي عنصر من عناصر هذا التسلسل يوجد متباينة ، بينما الرقم M (م) يسمى أعلى (أدنى) حافة.
التعريف 2: يسمى التسلسل العددي (x n) مقيد إذا كان مقيدًا في الأعلى والأسفل ، أي يوجد م ، م مثل هذا لأي
دلالة A = max (| M | ، | m |) ، فمن الواضح أن التسلسل الرقمي سيكون مقيدًا إذا كانت المساواة | x n |؟ .
التعريف 3: التسلسل الرقمي يسمى بلا نهاية كبيرالتسلسل ، إذا كان لأي من A> 0 ، يمكنك تحديد رقم N بحيث يكون لكل n> N ، ||> A صحيحًا.
التعريف 4: التسلسل العددي (ب ن) يسمى بلا نهاية صغيرالتسلسل ، إذا كان لأي من e> 0 محدد مسبقًا ، يمكنك تحديد هذا الرقم N (e) الذي لأي n> N (e) المتباينة | ب ن |< е.
التعريف 5: التسلسل الرقمي (x n) يسمى متقاربة، إذا كان هناك مثل هذا الرقم ، فإن التسلسل (x n - a) هو تسلسل متناهي الصغر. في نفس الوقت ، أ- حد أصلي عددي التسلسلات.
ويترتب على هذا التعريف أن جميع التسلسلات اللامتناهية في الصغر متقاربة وأن حد هذه التسلسلات = 0.
نظرًا لحقيقة أن مفهوم التسلسل المتقارب مرتبط بمفهوم التسلسل المتناهي الصغر ، يمكن إعطاء تعريف التسلسل المتقارب في شكل آخر:
التعريف 6: التسلسل العددي (x n) يسمى متقاربةإلى رقم إذا كان لأي عدد صغير بشكل تعسفي يوجد مثل ذلك بالنسبة لجميع n> N المتباينة
أ - حد التسلسل
لان مكافئ ، وهذا يعني الانتماء إلى الفترة x n є (a - e ؛ a + e) أو ، ما هو نفسه ، ينتمي إلى e - المنطقة المجاورة للنقطة a. ثم يمكننا إعطاء تعريف آخر للتسلسل العددي المتقارب.
التعريف 7: التسلسل الرقمي (x n) يسمى متقاربة، إذا كانت هناك نقطة من هذا القبيل أنه في أي حي إلكتروني صغير بما فيه الكفاية لهذه النقطة توجد عناصر عشوائية من هذا التسلسل ، بدءًا من بعض الأرقام N.
ملاحظة: وفقًا للتعريفات (5) و (6) ، إذا كانت a هي حد التسلسل (x n) ، فإن x n - a عنصر في تسلسل صغير بلا حدود ، أي x n - a = b n ، حيث b n عنصر في سلسلة متناهية الصغر. لذلك ، x p \ u003d a + b n ، ومن ثم لدينا الحق في التأكيد على أنه إذا تقارب التسلسل الرقمي (x n) ، فيمكن دائمًا تمثيله كمجموع حده وعنصر في تسلسل صغير بلا حدود.
العكس صحيح أيضًا: إذا كان من الممكن تمثيل أي عنصر من عناصر التسلسل (x n) على أنه مجموع رقم ثابت وعنصر في تسلسل صغير بلا حدود ، فهذا ثابت وهو حد معطى التسلسلات.
التعريف 8. التسلسل ليس يزيد (لا ينخفض)، إذا ل.
التعريف 9. التسلسل يزيد (النقصان)، إذا ل.
التعريف 10. يسمى التسلسل المتزايد بشكل صارم أو المتناقص بشكل صارم رتيب تسلسل.
يتم تقديم دليل على نظرية Weierstrass على حد تسلسل رتيب. يتم النظر في حالات التسلسل المحدود وغير المحدود. يعتبر أحد الأمثلة التي يكون فيها من الضروري ، باستخدام نظرية Weierstrass ، لإثبات تقارب تسلسل وإيجاد حده.
محتوىأنظر أيضا: حدود الوظائف الرتيبة
أي تسلسل رتيب محدد (x ن)له حد منتهي يساوي الحد الأعلى الدقيق ، سوب (س ن)من أجل الحد الأدنى غير المتناقص والدقيق ، inf (x ن)لتسلسل غير متزايد.
أي تسلسل رتيب غير محدود له حد لانهائي يساوي زائد اللانهاية لتسلسل غير متناقص وطرح ما لا نهاية لتسلسل غير متزايد.
دليل - إثبات
1) تسلسل محدود غير متناقص.
(1.1)
.
نظرًا لأن التسلسل محدود ، فإن له حدًا علويًا محددًا ومحدودًا
.
هذا يعني انه:
- لجميع ن ،
(1.2) ; - لأي رقم موجب ، هناك رقم يعتمد على ، لذلك
(1.3) .
.
استخدمنا هنا أيضًا (1.3). بالاقتران مع (1.2) نجد:
في .
منذ ذلك الحين
,
أو
في .
تم إثبات الجزء الأول من النظرية.
2)
الآن دع التسلسل يكون تسلسل محدود غير متزايد:
(2.1)
للجميع
نظرًا لأن التسلسل محدود ، فإنه يحتوي على حد أدنى دقيق ومحدود
.
هذا يعني ما يلي:
- لجميع المتباينات التالية:
(2.2) ; - لأي رقم موجب ، هناك رقم يعتمد على من أجله
(2.3) .
.
استخدمنا هنا أيضًا (2.3). مع الأخذ بعين الاعتبار (2.2) نجد:
في .
منذ ذلك الحين
,
أو
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية المتسلسلة.
تم إثبات الجزء الثاني من النظرية.
فكر الآن في التسلسلات غير المحدودة.
3)
دع التسلسل يكون تسلسل غير متناقص غير محدود.
نظرًا لأن التسلسل غير متناقص ، فإن المتباينات التالية تصمد لجميع n:
(3.1)
.
نظرًا لأن التسلسل غير متناقص وغير محدود ، فهو غير مقيد بـ الجانب الأيمن. ثم لأي رقم M يوجد رقم يعتمد على M له
(3.2)
.
بما أن التسلسل غير متناقص ، فلدينا:
.
استخدمنا هنا أيضًا (3.2).
.
هذا يعني أن حد المتسلسلة زائد اللانهاية:
.
تم إثبات الجزء الثالث من النظرية.
4) أخيرًا ، ضع في اعتبارك الحالة متى تسلسل غير محدود غير متزايد.
على النحو الوارد أعلاه ، بما أن التسلسل غير متزايد ، إذن
(4.1)
للجميع
نظرًا لأن التسلسل غير متزايد وغير محدود ، فهو غير مقيد في الجانب الأيسر. ثم لأي رقم M يوجد رقم يعتمد على M له
(4.2)
.
بما أن التسلسل غير متزايد ، فلدينا:
.
لذلك ، بالنسبة لأي رقم M ، يوجد عدد طبيعي يعتمد على M ، بحيث تكون المتباينات التالية مناسبة لجميع الأرقام:
.
هذا يعني أن حد التسلسل هو سالب ما لا نهاية:
.
لقد تم إثبات النظرية.
مثال على حل المشكلة
كل الأمثلة باستخدام نظرية Weierstrass ، أثبت تقارب المتتالية:
,
,
. . . ,
,
. . .
ثم ابحث عن حدوده.
دعنا نمثل التسلسل في شكل صيغ متكررة:
,
.
دعنا نثبت أن التسلسل المحدد مقيد من أعلى بالقيمة
(P1) .
يتم البرهان بطريقة الاستقراء الرياضي.
.
يترك . ثم
.
تم إثبات عدم المساواة (A1).
دعونا نثبت أن التسلسل يتزايد بشكل رتيب.
;
(ف 2) .
منذ ذلك الحين ، يكون مقام الكسر والعامل الأول في البسط موجبين. نظرًا لأن شروط التسلسل مقيدة بعدم المساواة (P1) ، فإن العامل الثاني موجب أيضًا. لهذا
.
وهذا يعني أن التسلسل يتزايد بشكل صارم.
نظرًا لأن التسلسل يتزايد ويحد من أعلى ، فهو تسلسل محدود. لذلك ، من خلال نظرية Weierstrass ، لها حدود.
لنجد هذا الحد. دعنا نشير إليها من خلال:
.
دعنا نستخدم ماذا
.
نطبق هذا على (P2) باستخدام الخصائص الحسابية لحدود المتواليات المتقاربة:
.
الجذر يفي بالشرط.