Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica această ecuație. Această metodă este utilizată atunci când nu puteți scrie o ecuație dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda de înmulțire încrucișată). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, este mai bine să utilizați înmulțirea încrucișată).
Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun). NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.
- Uneori, NPD este un număr evident. De exemplu, dacă se dă ecuația: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, atunci este evident că cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 2 și 6 este 6.
- Dacă NCD nu este evidentă, notați multiplii celui mai mare numitor și găsiți printre ei unul care va fi un multiplu al celorlalți numitori. Adesea, NOD-ul poate fi găsit prin simpla înmulțire a doi numitori. De exemplu, dacă ecuația este dată x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atunci NOS = 8*9 = 72.
- Dacă unul sau mai mulți numitori conțin o variabilă, procesul devine ceva mai complicat (dar nu imposibil). În acest caz, NOC este o expresie (care conține o variabilă) care este împărțită la fiecare numitor. De exemplu, în ecuația 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), deoarece această expresie este împărțită la fiecare numitor: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOC la numitorul corespunzător al fiecărei fracții.
- Deoarece înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, înmulțiți efectiv fracția cu 1 (de exemplu, 2/2 = 1 sau 3/3 = 1).
- Deci, în exemplul nostru, înmulțiți x/3 cu 2/2 pentru a obține 2x/6 și 1/2 înmulțiți cu 3/3 pentru a obține 3/6 (fracția 3x +1/6 nu trebuie înmulțită deoarece este numitorul este 6).
Procedați în mod similar atunci când variabila este la numitor. În al doilea exemplu, NOZ = 3x(x-1), deci înmulțiți 5/(x-1) cu (3x)/(3x) pentru a obține 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x înmulțit cu 3(x-1)/3(x-1) și obțineți 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) înmulțit cu (x-1)/(x-1) și obțineți 2(x-1)/3x(x-1). Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu numitorul comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.
- În exemplul nostru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puteți adăuga 2 fracții cu același numitor, așa că scrieți ecuația ca: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6 și scăpați de numitori: 2x+3 = 3x +1. Rezolvați și obțineți x = 2.
- În al doilea exemplu (cu o variabilă la numitor), ecuația arată ca (după reducerea la un numitor comun): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Înmulțind ambele părți ale ecuației cu N3, scapi de numitor și obții: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), sau 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau 15x = x - 5 Rezolvați și obțineți: x = -5/14.
„Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”
Obiectivele lecției:
Educațional:
- formarea conceptului de ecuații raționale fracționale; luați în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale; luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero; învață rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale folosind un algoritm; verificarea nivelului de stăpânire a temei prin efectuarea unui test.
Dezvoltare:
- dezvoltarea capacității de a opera corect cu cunoștințele dobândite și de a gândi logic; dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare; dezvoltarea inițiativei, capacitatea de a lua decizii și să nu se oprească aici; dezvoltarea gândirii critice; dezvoltarea abilităților de cercetare.
Educarea:
- stimularea interesului cognitiv pentru subiect; promovarea independenței în rezolvarea problemelor educaționale; hrănind voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.
Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.
Progresul lecției
1. Moment organizatoric.
Salut baieti! Sunt ecuații scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?
Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi în clasă? Formulați subiectul lecției. Deci, deschideți caietele și notați subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.
2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.
Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Vă rugăm să răspundeți la următoarele întrebări:
1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
2. Cum se numește ecuația nr. 1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Dați termeni similari. Găsiți factor necunoscut).
3. Cum se numește ecuația nr. 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Izolarea unui pătrat complet folosind formule folosind teorema lui Vieta și corolarele sale.)
4. Ce este proporția? ( Egalitatea a două rapoarte.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este corectă, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor medii.)
5. Ce proprietăți se folosesc la rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă mutați un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.)
6. Când o fracție este egală cu zero? ( O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este zero..)
3. Explicarea materialului nou.
Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.
Răspuns: 10.
Ce ecuație rațională fracțională puteți încerca să rezolvați folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6
x2-6x-x2-5x = 6-8
Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.
Răspuns: 1,5.
Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).
D=1›0, x1=3, x2=4.
Răspuns: 3;4.
Acum încercați să rezolvați ecuația numărul 7 folosind una dintre următoarele metode.
(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|
||
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 | |||
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0 | x2-2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x2-3x-10)=0 | |||
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0 | |||
x1=0 x2=5 D=49 | |||
Răspuns: 0;5;-2. | Răspuns: 5;-2. |
Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce sunt trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?
Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.
- Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 există numere la numitor, nr. 5-7 sunt expresii cu o variabilă.) Care este rădăcina unei ecuații? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine adevărată.) Cum să aflați dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)
Când testează, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care ne permite să eliminăm această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.
x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.
Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, ceea ce înseamnă că 5 este o rădăcină străină.
Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.
Răspuns: -2.
Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii formulează ei înșiși algoritmul.
Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:
1. Mutați totul în partea stângă.
2. Reduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Creați un sistem: o fracție este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero și numitorul nu este egal cu zero.
4. Rezolvați ecuația.
5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
6. Notează răspunsul.
Discuție: cum să formalizezi soluția dacă folosiți proprietatea de bază a proporției și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun. (Adăugați la soluție: excludeți din rădăcinile sale pe cele care fac să dispară numitorul comun).
4. Înțelegerea inițială a materialului nou.
Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve ei înșiși ecuația în funcție de tipul de ecuație. Teme din manualul „Algebra 8”, 2007: Nr. 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, d, g). Profesorul monitorizează finalizarea sarcinii, răspunde la orice întrebări care apar și oferă asistență elevilor cu performanțe scăzute. Autotest: răspunsurile sunt scrise pe tablă.
b) 2 – rădăcină străină. Raspuns: 3.
c) 2 – rădăcină străină. Răspuns: 1.5.
a) Răspuns: -12,5.
g) Răspuns: 1;1.5.
5. Stabilirea temelor.
2. Învață algoritmul de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale.
3. Rezolvați în caietele Nr. 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).
4. Încercați să rezolvați numărul 000(a) (opțional).
6. Realizarea unei sarcini de control pe tema studiată.
Lucrarea se face pe bucăți de hârtie.
Exemplu de sarcină:
A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?
B) O fracție este egală cu zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.
Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației numărul 6?
D) Rezolvați ecuația nr. 7.
Criterii de evaluare a sarcinii:
- „5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină. „4” - 75%-89% „3” - 50%-74% „2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină. O nota de 2 nu este dată în jurnal, 3 este opțional.
7. Reflecție.
Pe fișele de lucru independente scrieți:
- 1 – dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine; 2 – interesant, dar nu clar; 3 – nu este interesant, dar de înțeles; 4 – nu este interesant, nu este clar.
8. Rezumând lecția.
Așadar, astăzi în lecție ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat să rezolvăm aceste ecuații în diverse moduri, ne-am testat cunoștințele cu ajutorul unui antrenament munca independenta. Vei afla rezultatele muncii tale independente in urmatoarea lectie, iar acasa vei avea ocazia sa iti consolidezi cunostintele.
Care metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, în opinia dvs., este mai ușoară, mai accesibilă și mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce ar trebui să rețineți? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?
Mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.
Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și sunt foarte interesante. Să luăm în considerare tipurile ecuații fracționaleși modalități de a le rezolva.
Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător
Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bătăi de cap inutile. Vedere generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este necunoscuta, a, b și c sunt numere obișnuite.
Aflați x: x/5 + 10 = 70.
Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 sunt anulate, 10 și 70 sunt înmulțite cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Aflați x: x/5 + x/10 = 90.
Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții posibile aici.
- Opțiunea 1: Scăpăm de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
- Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. Împărțiți 10 cu 10, înmulțiți cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Întâlnim adesea ecuații fracționale în care x-urile sunt pe laturile opuse ale semnului egal. În astfel de situații, este necesar să mutați toate fracțiile cu X într-o parte, iar numerele în cealaltă.
- Aflați x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.
Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor
Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Specificarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă a unei decizii corecte. Dacă nu le adăugați, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.
Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este necunoscuta, a, b, c sunt numere ordinare. Vă rugăm să rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi egal cu zero, deoarece nu poate fi împărțit la 0. Acesta este exact ceea ce este condiție suplimentară, pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori admisibile, prescurtat ca OA.
Aflați x: 15/x + 18 = 21.
Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația conform schemei standard, scăpând de fracții. Înmulțiți toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, de exemplu, adunarea sau scăderea.
Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Mutăm -3 în partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. ODZ este indicat.
Rezolvăm ecuația, înmulțim totul cu x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Mutați X-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.
Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale
Ecuațiile raționale sunt ecuații în care atât partea stângă, cât și cea dreaptă sunt expresii raționale.
(Rețineți: expresiile raționale sunt expresii întregi și fracționale fără radicali, inclusiv operațiile de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire - de exemplu: 6x; (m – n)2; x/3y etc.)
Ecuațiile raționale fracționale sunt de obicei reduse la forma:
Unde P(x) Și Q(x) sunt polinoame.
Pentru a rezolva astfel de ecuații, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu Q(x), ceea ce poate duce la apariția rădăcinilor străine. Prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, este necesar să se verifice rădăcinile găsite.
O ecuație rațională se numește întreagă, sau algebrică, dacă nu se împarte la o expresie care conține o variabilă.
Exemple de ecuație rațională întreagă:
5x – 10 = 3(10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Dacă într-o ecuație rațională există o împărțire printr-o expresie care conține o variabilă (x), atunci ecuația se numește rațional fracțional.
Exemplu de ecuație rațională fracțională:
15
x + - = 5x – 17
x
Ecuațiile raționale fracționale sunt de obicei rezolvate după cum urmează:
1) găsiți numitorul comun al fracțiilor și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu acesta;
2) rezolvați întreaga ecuație rezultată;
3) excludeți din rădăcinile sale pe cele care reduc numitorul comun al fracțiilor la zero.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale întregi și fracționale.
Exemplul 1. Să rezolvăm întreaga ecuație
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Soluţie:
Găsirea celui mai mic numitor comun. Acesta este 6. Împărțiți 6 la numitor și înmulțiți rezultatul rezultat cu numărătorul fiecărei fracții. Obținem o ecuație echivalentă cu aceasta:
3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Pentru că pe partea stângă și dreapta același numitor, poate fi omis. Apoi obținem o ecuație mai simplă:
3(x – 1) + 4x = 5x.
O rezolvăm deschizând parantezele și combinând termeni similari:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x – 5x = 3
Exemplul este rezolvat.
Exemplul 2. Rezolvați o ecuație rațională fracțională
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)
Găsirea unui numitor comun. Acesta este x(x – 5). Aşa:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Acum scăpăm din nou de numitor, deoarece este același pentru toate expresiile. Reducem termeni similari, echivalăm ecuația cu zero și obținem ecuație pătratică:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
După ce am rezolvat ecuația pătratică, găsim rădăcinile acesteia: –2 și 5.
Să verificăm dacă aceste numere sunt rădăcinile ecuației originale.
La x = –2, numitorul comun x(x – 5) nu dispare. Aceasta înseamnă că –2 este rădăcina ecuației originale.
La x = 5, numitorul comun ajunge la zero și două dintre cele trei expresii devin lipsite de sens. Aceasta înseamnă că numărul 5 nu este rădăcina ecuației originale.
Răspuns: x = –2
Mai multe exemple
Exemplul 1.
x 1 =6, x 2 = - 2,2.
Raspuns: -2,2;6.
Exemplul 2.
§ 1 Ecuații raționale întregi și fracționale
În această lecție ne vom uita la concepte precum ecuație rațională, expresie rațională, expresie întreagă, expresie fracțională. Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor raționale.
O ecuație rațională este o ecuație în care părțile din stânga și din dreapta sunt expresii raționale.
Expresiile raționale sunt:
Fracționat.
O expresie întreagă este alcătuită din numere, variabile, puteri întregi folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire cu un alt număr decât zero.
De exemplu:
Expresiile fracționale implică împărțirea printr-o variabilă sau o expresie cu o variabilă. De exemplu:
O expresie fracțională nu are sens pentru toate valorile variabilelor incluse în ea. De exemplu, expresia
la x = -9 nu are sens, deoarece la x = -9 numitorul merge la zero.
Aceasta înseamnă că o ecuație rațională poate fi întreagă sau fracțională.
O întreagă ecuație rațională este o ecuație rațională în care părțile stânga și dreapta sunt expresii întregi.
De exemplu:
O ecuație rațională fracțională este o ecuație rațională în care fie partea stângă, fie latura dreaptă sunt expresii fracționale.
De exemplu:
§ 2 Rezolvarea unei întregi ecuații raționale
Să luăm în considerare soluția unei întregi ecuații raționale.
De exemplu:
Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu cel mai mic numitor comun al numitorilor fracțiilor incluse în ea.
Pentru a face acest lucru:
1. găsiți numitorul comun pentru numitorii 2, 3, 6. Este egal cu 6;
2. găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți numitorul comun 6 la fiecare numitor
factor suplimentar pentru fracție
factor suplimentar pentru fracție
3. înmulțiți numărătorii fracțiilor cu factorii suplimentari corespunzători acestora. Astfel, obținem ecuația
care este echivalent cu ecuația dată
Să deschidem parantezele din stânga, să mutăm partea dreaptă spre stânga, schimbând semnul termenului când îl mutăm în cel opus.
Să aducem termeni similari ai polinomului și să obținem
Vedem că ecuația este liniară.
După ce am rezolvat-o, aflăm că x = 0,5.
§ 3 Rezolvarea unei ecuații raționale fracționale
Să luăm în considerare rezolvarea unei ecuații raționale fracționale.
De exemplu:
1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu cel mai mic numitor comun al numitorilor fracțiilor raționale incluse în ea.
Să găsim numitorul comun pentru numitorii x + 7 și x - 1.
Este egal cu produsul lor (x + 7)(x - 1).
2. Să găsim un factor suplimentar pentru fiecare fracție rațională.
Pentru a face acest lucru, împărțiți numitorul comun (x + 7)(x - 1) la fiecare numitor. Factorul suplimentar pentru fracții
egal cu x - 1,
factor suplimentar pentru fracție
este egal cu x+7.
3. Înmulțiți numărătorii fracțiilor cu factorii suplimentari corespunzători.
Obținem ecuația (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), care este echivalentă cu această ecuație
4. Înmulțiți binomul cu binomul din stânga și din dreapta și obțineți următoarea ecuație
5. Mutăm partea dreaptă spre stânga, schimbând semnul fiecărui termen când trecem la opus:
6. Să prezentăm termeni similari ai polinomului:
7. Ambele părți pot fi împărțite la -1. Obținem o ecuație pătratică:
8. După ce am rezolvat, vom găsi rădăcinile
Deoarece în Ec.
laturile stânga și dreapta sunt expresii fracționale, iar în expresii fracționale, pentru unele valori ale variabilelor, numitorul poate deveni zero, atunci este necesar să se verifice dacă numitorul comun nu merge la zero atunci când se găsesc x1 și x2 .
La x = -27, numitorul comun (x + 7)(x - 1) nu dispare la x = -1, numitorul comun nu este de asemenea zero;
Prin urmare, ambele rădăcini -27 și -1 sunt rădăcini ale ecuației.
Când rezolvați o ecuație rațională fracțională, este mai bine să indicați imediat intervalul de valori acceptabile. Eliminați acele valori la care numitorul comun ajunge la zero.
Să luăm în considerare un alt exemplu de rezolvare a unei ecuații raționale fracționale.
De exemplu, să rezolvăm ecuația
Factorim numitorul fracției din partea dreaptă a ecuației
Obținem ecuația
Să găsim numitorul comun pentru numitorii (x - 5), x, x(x - 5).
Va fi expresia x(x - 5).
Acum să găsim intervalul de valori acceptabile ale ecuației
Pentru a face acest lucru, echivalăm numitorul comun cu zero x(x - 5) = 0.
Obținem o ecuație, rezolvând că la x = 0 sau la x = 5 numitorul comun ajunge la zero.
Aceasta înseamnă că x = 0 sau x = 5 nu pot fi rădăcinile ecuației noastre.
Acum pot fi găsiți multiplicatori suplimentari.
Un factor suplimentar pentru fracțiile raționale
factor suplimentar pentru fracție
va fi (x - 5),
și factorul suplimentar al fracției
Înmulțim numărătorii cu factorii suplimentari corespunzători.
Obținem ecuația x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Să deschidem parantezele din stânga și din dreapta, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Să mutăm termenii de la dreapta la stânga, schimbând semnul termenilor transferați:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Și după ce aducem termeni similari, obținem o ecuație pătratică x2 - 3x - 10 = 0. Rezolvată, găsim rădăcinile x1 = -2; x2 = 5.
Dar am aflat deja că la x = 5 numitorul comun x(x - 5) ajunge la zero. Prin urmare, rădăcina ecuației noastre
va fi x = -2.
§ 4 Scurt rezumat al lecției
Important de reținut:
Când rezolvați ecuații raționale fracționale, procedați după cum urmează:
1. Aflați numitorul comun al fracțiilor incluse în ecuație. Mai mult, dacă numitorii fracțiilor pot fi factorizați, atunci factorizați-i și apoi găsiți numitorul comun.
2. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun: găsiți factori suplimentari, înmulțiți numărătorii cu factori suplimentari.
3.Rezolvați întreaga ecuație rezultată.
4. Eliminați din rădăcini pe cele care fac să dispară numitorul comun.
Lista literaturii folosite:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editat de Telyakovsky S.A. Algebră: manual. pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituţiilor. - M.: Educație, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a VIII-a: În două părți. Partea 1: manual. pentru învăţământul general instituţiilor. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Dezvoltarea lecției de algebră: clasa a VIII-a - M.: VAKO, 2010.
- Algebră clasa a VIII-a: planuri de lecții bazate pe manualul de Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Profesor, 2005.