Ecuații fracționale complexe. Cum se rezolvă ecuații cu fracții

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și sunt foarte interesante. Să ne uităm la tipurile de ecuații fracționale și la cum să le rezolvăm.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bătăi de cap inutile. Vedere generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este necunoscuta, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 sunt anulate, 10 și 70 sunt înmulțite cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții posibile aici.

Opțiunea 1: Scăpăm de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. Împărțiți 10 cu 10, înmulțiți cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Întâlnim adesea ecuații fracționale în care x-urile sunt pe laturile opuse ale semnului egal. În astfel de situații, este necesar să mutați toate fracțiile cu X într-o parte, iar numerele în cealaltă.

Aflați x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Specificarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă a unei decizii corecte. Dacă nu le adăugați, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este necunoscuta, a, b, c sunt numere ordinare. Vă rugăm să rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi egal cu zero, deoarece nu poate fi împărțit la 0. Acesta este exact ceea ce este condiție suplimentară, pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori admisibile, prescurtat ca OA.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația conform schemei standard, scăpând de fracții. Înmulțiți toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, de exemplu, adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Mutăm -3 în partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. ODZ este indicat.

Rezolvăm ecuația, înmulțim totul cu x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Mutați X-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să ne uităm la acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații patratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu coincide cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: .

4. Notați acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisfaceți a doua inegalitate din răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, mutăm toți termenii spre stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta.

Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.

În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.

Referințe

Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. a 5-a ed. - M.: Educație, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2006.

Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Teme pentru acasă

Ecuații fracționale. ODZ.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămasă - ecuații fracționale. Sau sunt, de asemenea, numiți mult mai respectabil - ecuații raționale fracționale. Este același lucru.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă numitorii sunt numai numere, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceasta, ecuația se transformă cel mai adesea în liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri se poate transforma într-o identitate, precum 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Voi aminti asta mai jos.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Ca să se reducă toți numitorii! Totul va deveni imediat mai ușor. Să explic cu un exemplu. Trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum ai fost predat în școala elementară? Mutăm totul într-o parte, îl aducem la un numitor comun etc. Uita cum vis urât! Acesta este ceea ce trebuie să faceți când adăugați sau scădeți fracții. Sau lucrezi cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți cu o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, reducerea numitorului necesită înmulțirea cu x+2. Și în dreapta, este necesară înmulțirea cu 2 Aceasta înseamnă că ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Multiplica:

Aceasta este o multiplicare comună a fracțiilor, dar o voi descrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid suportul (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

Pe partea stângă se contractă în întregime (x+2), iar în dreapta 2. Care este ceea ce s-a cerut! După reducere obținem liniar ecuaţie:

Și toată lumea poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1, putem scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu X, trebuie să înmulțim fracția cu (x – 2). Și câteva nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x – 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg ca și cum ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de satisfacție profundă reducem (x – 2)și obținem o ecuație fără fracții, cu o riglă!

Acum să deschidem parantezele:

Aducem altele asemănătoare, mutam totul în partea stângă și obținem:

Dar înainte de asta vom învăța să rezolvăm alte probleme. Pe interes. Apropo, asta e o grebla!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

Ghid de referință

Ecuații raționale sunt ecuații în care atât partea stângă, cât și cea dreaptă sunt expresii raționale.

(Rețineți: expresiile raționale sunt expresii întregi și fracționale fără radicali, inclusiv operațiile de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire - de exemplu: 6x; (m – n)2; x/3y etc.)

Ecuațiile raționale fracționale sunt de obicei reduse la forma:

Unde P(x) Și Q(x) sunt polinoame.

Pentru a rezolva astfel de ecuații, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu Q(x), ceea ce poate duce la apariția rădăcinilor străine. Prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, este necesar să se verifice rădăcinile găsite.

O ecuație rațională se numește întreagă, sau algebrică, dacă nu se împarte la o expresie care conține o variabilă.

Exemple de ecuație rațională întreagă:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Dacă într-o ecuație rațională există o împărțire printr-o expresie care conține o variabilă (x), atunci ecuația se numește rațional fracțional.

Exemplu de ecuație rațională fracțională:

15
x + - = 5x – 17
x

Ecuațiile raționale fracționale sunt de obicei rezolvate după cum urmează:

1) găsiți numitorul comun al fracțiilor și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu acesta;

2) rezolvați întreaga ecuație rezultată;

3) excludeți din rădăcinile sale pe cele care reduc numitorul comun al fracțiilor la zero.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor raționale întregi și fracționale.

Exemplul 1. Să rezolvăm întreaga ecuație

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Soluţie:

Găsirea celui mai mic numitor comun. Acesta este 6. Împărțiți 6 la numitor și înmulțiți rezultatul rezultat cu numărătorul fiecărei fracții. Obținem o ecuație echivalentă cu aceasta:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Pentru că pe partea stângă și dreapta același numitor, poate fi omis. Apoi obținem o ecuație mai simplă:

3(x – 1) + 4x = 5x.

O rezolvăm deschizând parantezele și combinând termeni similari:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Exemplul este rezolvat.

Exemplul 2. Rezolvați o ecuație rațională fracțională

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Găsirea unui numitor comun. Acesta este x(x – 5). Aşa:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Acum scăpăm din nou de numitor, deoarece este același pentru toate expresiile. Reducem termeni similari, echivalăm ecuația cu zero și obținem o ecuație pătratică:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

După ce am rezolvat ecuația pătratică, găsim rădăcinile acesteia: –2 și 5.

Să verificăm dacă aceste numere sunt rădăcinile ecuației originale.

La x = –2, numitorul comun x(x – 5) nu dispare. Aceasta înseamnă că –2 este rădăcina ecuației originale.

La x = 5, numitorul comun ajunge la zero și două dintre cele trei expresii devin lipsite de sens. Aceasta înseamnă că numărul 5 nu este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: x = –2

Mai multe exemple

Exemplul 1.

x 1 =6, x 2 = - 2,2.

Raspuns: -2,2;6.

Exemplul 2.

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să ne uităm la acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații patratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: .

4. Notați acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisfaceți a doua inegalitate din răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, mutăm toți termenii spre stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta.

Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.

În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.

Referințe

Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. a 5-a ed. - M.: Educație, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Educație, 2006.

Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Teme pentru acasă