يتم تحديد الوضع القانوني لموظف البلدية. الوضع القانوني لموظفي البلدية

ضع في اعتبارك مشكلة إيجاد جذور المعادلة غير الخطية

جذور المعادلة (1) هي قيم x التي ، عند الاستبدال ، تحولها إلى متطابقة. فقط لأبسط المعادلات ، من الممكن إيجاد حل في شكل صيغ ، أي شكل تحليلي. غالبًا ما يكون من الضروري حل المعادلات بالطرق التقريبية ، والأكثر انتشارًا ، فيما يتعلق بظهور أجهزة الكمبيوتر ، هي الطرق العددية.

يمكن تقسيم الخوارزمية الخاصة بإيجاد الجذور بالطرق التقريبية إلى مرحلتين. في البداية ، يتم دراسة موقع الجذور ويتم فصلها. توجد منطقة يوجد فيها جذر للمعادلة أو تقريب أولي لجذر x 0. أبسط طريقةحل هذه المشكلة هو دراسة الرسم البياني للدالة f (x). في الحالة العامة ، لحلها ، من الضروري إشراك جميع وسائل التحليل الرياضي.

يتبع الوجود في الفترة التي تم العثور عليها جذر واحد على الأقل للمعادلة (1) من شرط Bolzano:

و (أ) * و (ب)<0 (2)

من المفترض أيضًا أن الدالة f (x) متصلة في الفترة المحددة. ومع ذلك ، فإن هذا الشرط لا يجيب على السؤال حول عدد جذور المعادلة في فترة زمنية معينة. إذا تم استكمال متطلبات استمرارية الوظيفة بمتطلبات رتابةها ، وهذا يتبع من ثبات الإشارة للمشتق الأول ، فيمكننا تأكيد وجود جذر فريد على مقطع معين.

عند توطين الجذور ، من المهم أيضًا معرفة الخصائص الأساسية لهذا النوع من المعادلات. على سبيل المثال ، تذكر بعض خصائص المعادلات الجبرية:

أين المعاملات الحقيقية.

أ) معادلة الدرجة n لها جذور n ، من بينها يمكن أن يكون هناك جذور حقيقية ومعقدة. تشكل الجذور المعقدة أزواجًا مترافقة معقدة ، وبالتالي ، فإن المعادلة لها عدد زوجي من هذه الجذور. للحصول على قيمة فردية لـ n ، يوجد جذر حقيقي واحد على الأقل.
ب) عدد الجذور الحقيقية الموجبة أقل من أو يساوي عدد العلامات المتغيرة في تسلسل المعاملات. يتيح لك استبدال x بـ -x في المعادلة (3) تقدير عدد الجذور السالبة بنفس الطريقة. انقسام نيوتن التكرار غير الخطي

في المرحلة الثانية من حل المعادلة (1) ، باستخدام التقريب الأولي الذي تم الحصول عليه ، يتم إنشاء عملية تكرارية تجعل من الممكن تحسين قيمة الجذر ببعض الدقة المحددة مسبقًا. تتكون العملية التكرارية من التنقيح المتتالي للتقريب الأولي. كل خطوة من هذا القبيل تسمى التكرار. نتيجة لعملية التكرار ، تم العثور على سلسلة من القيم التقريبية لجذور المعادلة. إذا اقترب هذا التسلسل من القيمة الحقيقية للجذر x مع نمو n ، فإن العملية التكرارية تتقارب. يقال إن العملية التكرارية تتقارب مع الأمر m على الأقل إذا تم استيفاء الشرط التالي:

حيث С> 0 ثابت بعض الشيء. إذا كانت م = 1 ، فإن المرء يتحدث عن تقارب من الدرجة الأولى ؛ م = 2 - حول التربيعية ، م = 3 - حول التقارب التكعيبي.

تنتهي الدورات التكرارية إذا تم استيفاء معايير الانحرافات المطلقة أو النسبية لخطأ مسموح به معين:

أو صغر البقية:

هذا العمل مخصص لدراسة خوارزمية لحل المعادلات غير الخطية باستخدام طريقة نيوتن.

صياغة المشكلة

فصل الجذور

صقل الجذر

1.2.3.2. طريقة التكرار

1.2.3.4. طريقة الوتر

صياغة المشكلة

المعادلات الجبرية

( 1.2.1-1)

معادلة متعالية

(1.2.1-2)

صقل تكراري للجذور.

في مرحلة فصل الجذور ، يتم حل مشكلة إيجاد أضيق مقطع ممكن ، والذي يحتوي على جذر واحد فقط للمعادلة.

تهدف خطوة تحسين الجذر إلى حساب القيمة التقريبية للجذر بدقة معينة. في هذه الحالة ، يتم استخدام الطرق التكرارية لحساب التقديرات المتتالية للجذر: x 0 ، x 1 ، ... ، x n ، ... ، حيث يتم حساب كل تقريب لاحق x n + 1 بناءً على x n السابقة. كل خطوة تسمى التكرار. إذا كان التسلسل x 0 ، x 1 ، ... ، x n ،… حيث أن n ® ¥ له حد مساوٍ لقيمة الجذر ، يُقال أن العملية التكرارية تتقارب.

هناك طرق مختلفة لفصل وتنقيح الجذور ، والتي سنناقشها أدناه.

فصل الجذور

يعتبر جذر المعادلة f (x) = 0 منفصلًا (محليًا) على المقطع إذا لم يكن لهذه المعادلة جذور أخرى في هذا المقطع. لفصل جذور المعادلة ، من الضروري تقسيم نطاق القيم المقبولة للوظيفة f (x) إلى مقاطع ضيقة إلى حد ما ، يحتوي كل منها على جذر واحد فقط. يوجد الرسمو تحليليطرق فصل الجذر.

صقل الجذر

تتمثل مهمة تنقية جذر المعادلة بدقة مفصولة بالمقطع في العثور على مثل هذه القيمة التقريبية للجذر الذي تتسبب فيه المتباينة . إذا لم تكن المعادلة لها جذور واحدة ، بل عدة جذور ، فسيتم تنفيذ مرحلة الصقل لكل جذر منفصل.

طريقة نصف القسمة

دع جذر المعادلة f (x) = 0 يتم فصله على المقطع ، أي أن هناك جذرًا واحدًا في هذا الجزء ، والوظيفة في هذا المقطع مستمرة.

تسمح لك طريقة التنصيف بالحصول على سلسلة من المقاطع المتداخلة ، ... ، ... ، مثل f (a i) .f (b i)< 0 ، حيث i = 1،2 ، ... ، n ، وطول كل مقطع لاحق هو نصف طول المقطع السابق:

يضمن التضييق المتسلسل للمقطع حول القيمة غير المعروفة للجذر التنفيذ في خطوة ما نعدم المساواة | ب ن - أ ن |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

يمكن أن تؤخذ كقيمة تقريبية للجذر ، على سبيل المثال ، نقطة المنتصف

في طريقة التقسيم ، من التكرار إلى التكرار ، يتم تقليل طول المقطع الأولي باستمرار بمقدار النصف (الشكل 1.2.3-1). لذلك ، في الخطوة التاسعة ، يكون التقدير التالي لخطأ النتيجة صحيحًا:

( 1.2.3-1)

أين هي القيمة الدقيقة للجذر ، x n н هي القيمة التقريبية للجذر في الخطوة n.

بمقارنة تقدير الخطأ الناتج بالدقة المعطاة ، يمكننا تقدير العدد المطلوب من الخطوات:

(1.2.3-2)

يتضح من الصيغة أن الانخفاض في القيمة ه(زيادة الدقة) تؤدي إلى زيادة كبيرة في كمية الحسابات ، لذلك ، في الممارسة العملية ، يتم استخدام طريقة نصف القسمة لإيجاد تقريبي نسبيًا للجذر ، ويتم إجراء مزيد من التنقيح باستخدام طرق أخرى أكثر كفاءة .

أرز. 1.2.3-2. مخطط خوارزمية طريقة التنصيف

يظهر مخطط خوارزمية التنصيف في الشكل. 1.2.3-2. تفترض الخوارزمية أعلاه أن الجانب الأيسر من المعادلة f (x) مصمم كوحدة برمجية.

مثال 1.2.3-1. حدد جذر المعادلة x 3 + x-1 = 0 بدقة = 0.1 ، المترجمة على المقطع.

يتم عرض النتائج بشكل ملائم باستخدام الجدول 1.2.3-3.

الجدول 1.2.3-3

ك	أ	ب	و (أ)	و (ب)	(أ + ب) / 2	و ((أ + ب) / 2)	أ ك	ب ك
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

بعد التكرار الرابع ، طول المقطع | ب 4-أ 4 | = | 0.688-0.625 | = 0.063 أصبحت أقل من القيمة ه، لذلك ، بالنسبة للقيمة التقريبية للجذر ، يمكنك أخذ قيمة منتصف هذا المقطع: x \ u003d (a 4 + b 4) / 2 \ u003d 0.656 .

قيمة الدالة f (x) عند النقطة x = 0.656 هي f (0.656) = -0.062 .

طريقة التكرار

تتضمن طريقة التكرار استبدال المعادلة f (x) = 0 بمعادلة مكافئة x = j (x). إذا تم فصل جذر المعادلة على المقطع ، فبناءً على التقريب الأولي × 0 н ،يمكنك الحصول على سلسلة تقريبية للجذر

x 1 \ u003d j (x 0) ، x 2 \ u003d j (x 1) ، ... ، , ( 1.2.3-3)

حيث تسمى الوظيفة j (x) دالة مكررة.

يتم تحديد شرط التقارب لطريقة التكرار البسيطة من خلال النظرية التالية.

دع الجذر X * المعادلاتس = ي (س) مفصولة على قطعةوأنشأ سلسلة من التقديرات التقريبية وفقًا للقاعدة x n \ u003d j (x n -1) . ثم إذا كان كل أعضاء التسلسلس ن = ي (س ن -1) н وهناك مثل هذاف (0 هذا للجميعس О إجراء| j '(x) | = ف<1، إذن هذا التسلسل متقارب وحدود التسلسل هو قيمة الجذرس * ، بمعنى آخر. تتقارب عملية التكرار مع جذر المعادلة بغض النظر عن التقريب الأولي.

وبالتالي ، إذا تم استيفاء شرط تقارب طريقة التكرار ، فسيتم الحصول على التسلسل x 0 ، x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، ... ، باستخدام الصيغة x n +1 = j (x n ), يتقارب مع القيمة الدقيقة للجذر:

الشرط j (x) н لـ xн يعني أن جميع التقديرات التقريبية x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، ... التي تم الحصول عليها بواسطة الصيغة التكرارية يجب أن تنتمي إلى المقطع حيث يتم فصل الجذر.

لتقدير خطأ طريقة التكرار ، الشرط

لكل رقم فيمكن أن تأخذ أكبر قيمة | j "(x) | , وعملية التكرار يجب أن تستمر حتى عدم المساواة

(1.2.3-5)

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام صيغة مبسطة لتقدير الخطأ. على سبيل المثال ، إذا كان 0

| x n -1 - x n | جنيه استرليني.

يتيح لك استخدام الصيغة التكرارية x n +1 = j (x n) الحصول على قيمة جذر المعادلة f (x) = 0 بأي درجة من الدقة .

توضيح هندسي لطريقة التكرار. على المستوى X0Y ، نرسم الرسوم البيانية للوظائف y = x و y = j (x ). جذر المعادلة x = j (x) هو حدود نقطة تقاطع الرسوم البيانية للدالة y = j (x ) وتوجيه y = x. لنأخذ بعض التقريب الأولي x 0 н. على المنحنى y \ u003d j (x) يتوافق مع النقطة A 0 \ u003d j (x 0). للعثور على التقريب التالي ، ارسم خطًا أفقيًا مستقيمًا عبر النقطة A 0 إلى التقاطع مع الخط المستقيم y \ u003d x (النقطة B 1) وقم بخفض عمودي على التقاطع مع المنحنى (النقطة A 1) ، أي ، × 1 \ u003d ي (× 0) . استمرارًا للبناء بطريقة مماثلة ، لدينا خط متقطع A 0 ، B 1 ، A 1 ، B 2 ، A 2 ... ، حيث تكون الخطوط العريضة المشتركة للنقاط عبارة عن تقريب متتالي × 1 ، × 2 ،. .. ، x n ("سلم") إلى الجذر X *. من التين. 1.2.3-3a يمكن ملاحظة أن العملية تتقارب مع جذر المعادلة.

فكر الآن في شكل آخر للمنحنى y = j (x) (الشكل 1.2.6 ب). في هذه الحالة ، الخط المكسور A 0 ، B 1 ، A 1 ، B 2 ، A 2 ... له شكل "لولبي". ومع ذلك ، في هذه الحالة ، لوحظ التقارب أيضًا.

من السهل ملاحظة أنه في الحالة الأولى ، يفي المشتق بالشرط 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-واحد. وبالتالي ، من الواضح أنه إذا كان | j '(x) |<1, то процесс итераций сходится к корню.

الآن ضع في اعتبارك الحالات التي يكون فيها | j '(x) |> 1. في التين. يوضح الشكل 1.2.3-4a الحالة عندما تكون j '(x)> 1 ، وفي الشكل. 1.2.3-4b - عندما j '(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

طرق تحسين تقارب عملية التكرار. ضع في اعتبارك خيارين لتمثيل الوظيفة j (x) في الانتقال من المعادلة f (x) إلى x = j (x).

1. اجعل الوظيفة j (x) قابلة للتفاضل ورتيبة في أحياء الجذر ، ودع رقمًا k £ | j ‘(x) | ، حيث k ³ 1 (أي تتباعد العملية). دعونا نستبدل المعادلة x = j (x) بالمعادلة المكافئة لها x = Y (x ) ، أين ص (س) = 1 / ي (س)(دعنا ننتقل إلى الدالة العكسية). ثم

وهو ما يعني q = 1 / k< 1 и процесс будет сходиться.

2. نحن نمثل الوظيفة j (x) كـ j (x) = x - lf (x) ، حيث l هو المعامل , غير متساوي

صفر. لكي تتقارب العملية ، من الضروري ذلك
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), حيث m 1 و M 1 هما الحد الأدنى والحد الأقصى لقيم f '(x) (m 1 = min | f' (x) | ، M 1 = max | f '(x) |) لـ хн ، أي 0 £ م 1 £ f ¢ (x) £ M 1 £ 1. ثم

وسوف تتقارب العملية ، فإن الصيغة العودية لها الشكل

إذا f ¢ (x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

يمكن أيضًا تحديد المعلمة λ بالقاعدة:

إذا ، إذن ، إذا ، إذن ، أين .

يظهر مخطط خوارزمية طريقة التكرار في الشكل. 1.2.3-5.

تم تحويل المعادلة الأصلية f (x) = 0 إلى شكل مناسب للتكرار: تم تصميم الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية f (x) ووظيفة التكرار fi (x) في الخوارزمية كوحدات برمجية منفصلة.

أرز. 1.2.3-5. مخطط خوارزمية طريقة التكرار

مثال 1.2.3-2. صقل جذر المعادلة 5x - 8 ∙ ln (x) - 8 = 0 بدقة 0.1 ، المترجمة على المقطع.

نأتي بالمعادلة إلى شكل مناسب للتكرار:

لذلك ، بالنسبة للقيمة التقريبية لجذر المعادلة ، نأخذ القيمة x 3 = 3.6892 ، والتي توفر الدقة المطلوبة للحسابات. عند هذه النقطة f (x 3) = 0.0027.

طريقة الوتر

التفسير الهندسي لطريقة الوترعلى النحو التالي
(الشكل 1.2.3-8).

لنرسم مقطعًا من خط مستقيم من خلال النقطتين A و B. التقريب التالي x 1 هو الحد الأقصى لنقطة تقاطع الوتر مع المحور 0x. لنقم ببناء معادلة المقطع المستقيم:

لنضع y = 0 ونجد القيمة x = x 1 (تقريب آخر):

نكرر عملية الحساب للحصول على التقريب التالي للجذر - x 2 :

في حالتنا (الشكل 1.2.11) وستبدو صيغة حساب طريقة الوتر

هذه الصيغة صالحة عندما تؤخذ النقطة ب كنقطة ثابتة ، والنقطة أ تعمل كتقريب أولي.

النظر في حالة أخرى (الشكل 1.2.3-9) ، متى.

معادلة الخط المستقيم لهذه الحالة لها الشكل

التقريب التالي x 1 عند y = 0

ثم الصيغة العودية لطريقة الأوتار لهذه الحالة لها الشكل

وتجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للنقطة الثابتة في طريقة الأوتار ، يتم اختيار نهاية المقطع الذي يتم من أجله استيفاء الشرط f (x) ∙ f ¢¢ (x)> 0.

وبالتالي ، إذا تم أخذ النقطة أ كنقطة ثابتة , ثم x 0 = b تعمل كتقريب أولي ، والعكس صحيح.

الشروط الكافية التي تضمن حساب جذر المعادلة f (x) = 0 باستخدام صيغة الأوتار ستكون مماثلة لطريقة الظل (طريقة نيوتن) ، ولكن بدلاً من التقريب الأولي ، يتم اختيار نقطة ثابتة. طريقة الوتر هي تعديل لطريقة نيوتن. الفرق هو أن التقريب التالي في طريقة نيوتن هو نقطة تقاطع المماس مع المحور 0X ، وفي طريقة الأوتار - نقطة تقاطع الوتر مع المحور 0X - تتلاقى التقريبات مع الجذر من جوانب مختلفة.

يتم تحديد تقدير خطأ طريقة الوتر من خلال التعبير

(1.2.3-15)

شرط إنهاء عملية التكرار بطريقة الأوتار

(1.2.3-16)

إذا كان م 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ ه.

مثال 1.2.3-4. حدد جذر المعادلة e x - 3x = 0 ، مفصولاً على مقطع بدقة 10 -4.

دعنا نتحقق من حالة التقارب:

لذلك ، يجب اختيار a = 0 كنقطة ثابتة ، ويجب اعتبار x 0 \ u003d 1 بمثابة تقريب أولي ، حيث أن f (0) \ u003d 1> 0 و f (0) * f "(0)> 0 .

تم الحصول على نتائج الحساب باستخدام الصيغة
يتم عرض 1.2.3-14 في الجدول 1.2.3-4.

الجدول 1.2.3-4

أرز. 1.2.3-10. مخطط خوارزمية طريقة الوتر

المعادلة غير الخطية هي

1) المعادلة الجبرية أو المتعالية

2) معادلة جبرية

3) المعادلة المثلثية

4) معادلة متعالية

الموضوع 1.2. طرق حل المعادلات غير الخطية

صياغة المشكلة

فصل الجذور

1.2.2.1. الفصل الرسومي للجذور

1.2.2.2. فرع تحليلي للجذور

صقل الجذر

1.2.3.1. طريقة نصف القسمة

1.2.3.2. طريقة التكرار

1.2.3.3. طريقة نيوتن (طريقة الظل)

1.2.3.4. طريقة الوتر

1.2.3.5. مقارنة طرق حل المعادلات غير الخطية

1.2.4. مهام الاختبارحول موضوع "طرق حل المعادلات غير الخطية"

صياغة المشكلة

من أهم مشاكل التحليل الرياضي وأكثرها شيوعًا هي مشكلة تحديد جذور معادلة مجهولة واحدة ، والتي في نظرة عامةيمكن تمثيلها كـ f (x) = 0. اعتمادًا على شكل الوظيفة f (x) ، يميز المرء بين المعادلات الجبرية والمتجاوزة. المعادلات الجبريةتسمى المعادلات التي تكون فيها قيمة الدالة f (x) كثيرة الحدود الدرجة التاسعة:

f (x) \ u003d P (x) \ u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \ u003d 0. ( 1.2.1-1)

تسمى أي معادلة غير جبرية معادلة متعالية. الوظيفة f (x) في هذه المعادلات هي على الأقل واحدة من الوظائف التالية: الأسي ، اللوغاريتمي ، المثلثي ، أو المثلثي العكسي.

حل المعادلة f (x) \ u003d 0 هو مجموعة الجذور ، أي قيم المتغير المستقل التي تتحول المعادلة إلى هوية لها. ومع ذلك ، لا يمكن العثور على القيم الدقيقة للجذور إلا بشكل تحليلي لبعض أنواع المعادلات. على وجه الخصوص ، لا يمكن الحصول على الصيغ التي تعبر عن حل معادلة جبرية إلا للمعادلات التي لا تزيد عن الدرجة الرابعة. هناك فرص أقل للحصول على حل دقيق للمعادلات المتعالية. وتجدر الإشارة إلى أن مشكلة إيجاد القيم الدقيقة للجذور ليست صحيحة دائمًا. لذلك ، إذا كانت معاملات المعادلة أرقامًا تقريبية ، فإن دقة القيم المحسوبة للجذور بالتأكيد لا يمكن أن تتجاوز دقة البيانات الأصلية. تجبرنا هذه الظروف على النظر في إمكانية إيجاد جذور المعادلة بدقة محدودة (جذور تقريبية).

تعتبر مشكلة العثور على جذر المعادلة بدقة معينة (> 0) محلولة إذا تم حساب قيمة تقريبية تختلف عن القيمة الدقيقة للجذر بما لا يزيد عن القيمة e

(1.2.1-2)

تتكون عملية إيجاد الجذر التقريبي للمعادلة من مرحلتين:

1) فصل الجذور (توطين الجذور) ؛

معادلة مثل F (x) = 0 أو x = f (x) تسمى غير خطية. يعني حل المعادلة إيجاد x الذي تصبح المعادلة له متطابقة. بشكل عام ، يمكن أن تحتوي المعادلة على 0 ؛ واحد؛ 2 ؛...∞ الجذور. تجعل الطرق العددية الموضحة أدناه لحل المعادلات غير الخطية من الممكن إيجاد جذر واحد في فترة زمنية معينة. في هذه الحالة ، يجب أن يوجد جذر واحد فقط في الفترة الزمنية. فكر في عدة طرق لحل المعادلات غير الخطية.

طريقة العد. عند حل المعادلة غير الخطية عن طريق التعداد ، يتم تحديد القيمة الأولية للوسيطة x = a والخطوة h ، والتي تحدد في نفس الوقت دقة العثور على جذور المعادلة غير الخطية. بينما يتم استيفاء الشرط F (x) * F (x + h)> 0 ، تتم زيادة الوسيطة x بالخطوة h (x = x + h). إذا أصبح الناتج F (x) * F (x + h) سالبًا ، فهناك حل للمعادلة في الفترة. يظهر مخطط الطريقة في الشكل.
طريقة نصف القسمة. عند حل معادلة غير خطية بطريقة التنصيف ، يتم تحديد فترة لا يوجد فيها سوى حل واحد ، والدقة المطلوبة ε. ثم يتم تحديد منتصف الفترة الزمنية с = (а + b) / 2 ويتم فحص الشرط F (a) ∙ F (c)<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>ε. يظهر الرسم البياني لحل المعادلات غير الخطية بطريقة التنصيف في الشكل.

بينما | ب-أ |> ε

و (أ) و (ج)<0

أرز. مخطط هيكلي لطريقة التنصيف
طريقة الوتر. عند حل معادلة غير خطية بطريقة الوتر ، يتم تحديد الفاصل الزمني ، الذي يوجد فيه حل واحد فقط ، والدقة ε. بعد ذلك ، من خلال نقطتين مع إحداثيات (أ ، و (أ)) و (ب ، و (ب)) نرسم قطعة خط مستقيم (وتر) ونحدد نقطة تقاطع هذا الخط مع محور الإحداثيات (النقطة ج) . إذا ، بالإضافة إلى ذلك ، F (a) ∙ F (c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку جيتم نقل الحد الأيسر للفاصل الزمني (أ = ج). البحث عن حل يتوقف عند الدقة المحددة | F (c) |< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (حاول الحصول على الصيغة بنفسك) يظهر الرسم البياني لطريقة الوتر في الشكل.

بينما | F (ج) |> ε

و (أ) و (ج)<0

أرز. مخطط الهيكل لطريقة الوتر
طريقة الظل. عند حل المعادلة غير الخطية بطريقة الظل ، يتم تحديد القيمة الأولية للوسيطة × 0 والدقة ε. بعد ذلك ، عند النقطة (x 0، F (x 0)) نرسم ظلًا للرسم البياني F (x) ونحدد نقطة تقاطع المماس مع المحور x x 1. عند النقطة (x 1 ، F (x 1)) نقوم مرة أخرى ببناء الظل ، والعثور على التقريب التالي للحل المطلوب × 2 ، إلخ. نكرر هذا الإجراء حتى | F (x i) | > ε. لتحديد نقطة التقاطع (i + 1) للماس مع محور الإحداثيات ، نستخدم الصيغة التالية (احصل على الصيغة بنفسك). شرط التقارب لطريقة الظل F (x 0) ∙ F "" (x 0)> 0. يظهر الرسم البياني لحل المعادلات غير الخطية بطريقة الظل في الشكل.
طريقة الوتر ظل. إذا تم استبدال مشتق الدالة F "(x i) في طريقة المماس بنسبة الزيادات المحدودة ، فإننا نحصل على صيغة الحساب لطريقة الوتر الظل . يشبه إجراء إجراء العمليات الحسابية في هذه الطريقة الإجراء المذكور سابقًا.
طريقة التكرار. عند حل المعادلة غير الخطية بطريقة التكرار ، نستخدم المعادلة في الصورة س = و (س). تم تحديد القيمة الأولية للوسيطة x 0 والدقة ε. تم العثور على التقريب الأول للحل x 1 من التعبير x 1 \ u003d f (x 0) ، والثاني - x 2 \ u003d f (x 1) ، إلخ. في الحالة العامة ، يمكن إيجاد تقريب i + 1 بالصيغة x i +1 = f (x i). نكرر هذا الإجراء حتى | f (x i) |> ε. شرط تقارب طريقة التكرار | f "(x) |<1. Структограмма метода итераций показана на рис.

مهمة التحكم. العمل المخبري 4.

حل المعادلات غير الخطية.

ممارسه الرياضه. حل المعادلة غير الخطية الموضحة في الجدول. الطرق ، التحديد المسبق للفاصل الزمني الذي يوجد فيه حل للمعادلة. تحقق من الحل.

متغيرات المعادلات وطرق حلها معطاة في الجدول.

متغيرات المعادلات وطرق حلها

	المعادلة	طرق الحل

		خرق وتوتر
		الكسر والظل
		خرق وتماسات وتر
		القوة الغاشمة ونصف الانقسام
		خرق وتوتر
		الكسر والظل
		خرق وتماسات وتر
		القوة الغاشمة ونصف الانقسام
		خرق وتوتر
		الكسر والظل
		خرق وتماسات وتر
		القوة الغاشمة ونصف الانقسام
		خرق وتوتر
		الكسر والظل
		خرق وتماسات وتر
		القوة الغاشمة ونصف الانقسام
		خرق وتوتر
		الكسر والظل
	x2 = exp (-x2) -1	خرق وتماسات وتر
		القوة الغاشمة ونصف الانقسام
		خرق وتوتر
		الكسر والظل
		خرق وتماسات وتر
		القوة الغاشمة ونصف الانقسام

العنوان والغرض من العمل والمهمة.
الوصف الرياضي والخوارزمية (الهيكلية) ونص البرنامج.
نتائج الحساب والتحقق والاستنتاجات على العمل.

القسم: ASOIiU

العمل المخبري

حول الموضوع: إيجاد جذر معادلة غير خطية. طرق حل نظام المعادلات غير الخطية

موسكو ، 2008

إيجاد جذر معادلة غير خطية

1. بيان المشكلة

لنفترض أن دالة متصلة مع مشتقاتها العديدة. مطلوب للعثور على كل أو بعض الجذور الحقيقية للمعادلة

هذه المهمة مقسمة إلى عدة مهام فرعية. أولاً ، من الضروري تحديد عدد الجذور ، للتحقق من طبيعتها وموقعها. ثانيًا ، أوجد القيم التقريبية للجذور. ثالثا اختيار الجذور التي تهمنا منها وحسابها بالدقة المطلوبة. يتم حل المهمتين الأولى والثانية ، كقاعدة عامة ، بالطرق التحليلية أو الرسومية. في حالة البحث عن الجذور الحقيقية للمعادلة (1) فقط ، من المفيد تجميع جدول قيم الدالة. إذا كانت الوظيفة تحتوي على علامات مختلفة في عقدتين متجاورتين من الجدول ، فسيكون بين هذه العقد عدد فردي من جذور المعادلة (واحدة على الأقل). إذا كانت هذه العقد قريبة ، فمن المرجح أن يكون هناك جذر واحد فقط بينها.

يمكن صقل القيم التقريبية التي تم العثور عليها للجذور باستخدام طرق تكرارية مختلفة. لنفكر في ثلاث طرق: 1) طريقة الانقسام (أو تقسيم المقطع إلى نصفين) ؛ 2) طريقة التكرار البسيطة ؛ و 3) طريقة نيوتن.

2. طرق حل المشكلة

2.1 طريقة تقسيم الجزء إلى النصف

أبسط طريقة لإيجاد جذر المعادلة غير الخطية (1) هي طريقة نصف القسمة.

دعنا نعطي دالة مستمرة على المقطع.إذا كانت قيم الوظيفة في نهايات المقطع لها علامات مختلفة ، أي ثم هذا يعني أن هناك عددًا فرديًا من الجذور داخل المقطع المحدد. دعنا ، من أجل التحديد ، لدينا جذر واحد فقط. جوهر الطريقة هو خفض طول المقطع إلى النصف عند كل تكرار. نجد منتصف المقطع (انظر الشكل 1) احسب قيمة الوظيفة وحدد المقطع الذي تغير فيه الوظيفة علامتها. قسّم الجزء الجديد إلى نصفين مرة أخرى. ونستمر في هذه العملية حتى يتساوى طول المقطع مع الخطأ المحدد مسبقًا في حساب جذر e. يظهر بناء عدة تقديرات تقريبية متتالية وفقًا للصيغة (3) في الشكل 1.

إذن ، خوارزمية طريقة الانقسام:

1. تعيين المسافة والخطأ ه.

2. إذا كانت لكل من f (a) و f (b) نفس العلامات ، فقم بإصدار رسالة حول استحالة العثور على الجذر والتوقف.

رسم بياني 1. طريقة قسمة مقطع إلى النصف لحل معادلة بالصيغة f (x) = 0.

3. خلافًا لذلك احسب c = (a + b) / 2

4. إذا كانت f (a) و f (c) لها علامات مختلفة ، ضع b = c ، وإلا a = c.

5. إذا كان طول المقطع الجديد هو ، فقم بحساب قيمة الجذر c = (a + b) / 2 والتوقف ، وإلا انتقل إلى الخطوة 3.

نظرًا لأنه يتم تقليل طول المقطع بمقدار 2 N مرة في خطوات N ، فسيتم الوصول إلى الخطأ المحدد في العثور على جذر e في التكرارات.

كما يمكن أن نرى ، فإن معدل التقارب منخفض ، لكن مزايا الطريقة تشمل البساطة والتقارب غير المشروط للعملية التكرارية. إذا كان المقطع يحتوي على أكثر من جذر واحد (لكن عددًا فرديًا) ، فسيتم دائمًا العثور على واحد.

تعليق. لتحديد الفاصل الزمني الذي يكمن فيه الجذر ، يلزم إجراء تحليل إضافي للوظيفة ، بناءً على التقديرات التحليلية أو على استخدام طريقة الحل الرسومية. من الممكن أيضًا تنظيم بحث عن قيم الوظيفة في نقاط مختلفة حتى يتم استيفاء شرط تغيير إشارة الوظيفة

2.2 طريقة التكرار البسيطة

عند استخدام هذه الطريقة ، يجب إعادة كتابة المعادلة غير الخطية الأصلية (1) في النموذج

دعنا نشير إلى جذر هذه المعادلة كـ C *. دع التقريب الأولي للجذر معروفًا. بالتعويض عن هذه القيمة في الجانب الأيمن من المعادلة (2) ، نحصل على تقريب جديد

إلخ. بالنسبة للخطوة (n + 1) ، نحصل على التقريب التالي

(3)

وبالتالي ، وفقًا للصيغة (3) ، نحصل على تسلسل С 0 ، С 1 ، ... ، С n +1 ، والذي يميل إلى الجذر С * عند n® ¥. تتوقف العملية التكرارية إذا كانت نتائج التكرارات المتتالية قريبة ، أي الشرط

(4)

دعونا ندرس حالة ومعدل تقارب التسلسل العددي (C n) لـ n® ¥. أذكر تعريف معدل التقارب. التسلسل (C n) المتقارب إلى الحد С * له معدل تقارب في النظام إذا ، لـ n® ¥ ، الشرط

لنفترض أنه يحتوي على مشتق مستمر ، ثم الخطأ في (n + 1) - خطوة التكرار الثالثة e n +1 = C n +1 -C * = g (C n) -g (C *) يمكن تمثيلها كسلسلة

e n + 1 »C n + 1 - C * = g ¢ (C *) (C n -C *) + ¼ @ g ¢ (C *) e n + ¼

وبالتالي ، نحصل على ذلك بشرط

çg ¢ (C *) ç<1(6)

يتقارب التسلسل (3) مع الجذر بسرعة خطية أ = 1. الشرط (6) هو شرط لتقارب طريقة التكرار البسيطة. من الواضح أن نجاح الطريقة يعتمد على مدى جودة اختيار الوظيفة.

على سبيل المثال ، لاستخراج الجذر التربيعي ، أي حل معادلة بالصيغة x \ u003d a 2 ، يمكنك وضع

س \ u003d ك 1 (س) \ u003d أ / س (7 أ)

س = ز 2 (س) = (س + أ / س) / 2. (7 ب)

من السهل إظهار ذلك

½g 1 "(C) ½ = 1 ،

ميكروغرام 2 "(ج) ½<1.

وبالتالي ، فإن العملية الأولى (7 أ) لا تتقارب على الإطلاق ، بينما تتقارب العملية الثانية (7 ب) لأي تقريب أولي C 0> 0.

أرز. 2. التفسير الرسومي لطريقة التكرارات البسيطة لحل معادلة بالصيغة x = g (x).

بناء عدة تقديرات تقريبية متتالية بالصيغة [3)

С 0 ، С 1 ، ... ، С n = C *

هو مبين في الشكل 2.

2.3 طريقة نيوتن

في الأدبيات ، غالبًا ما تسمى هذه الطريقة طريقة الظل ، وكذلك طريقة الخطية. نختار التقريب الأولي С 0. لنفترض أن الانحراف С 0 عن القيمة الحقيقية للجذر С * صغير ، ثم توسيع f (C *) إلى سلسلة تايلور عند النقطة С 0 ، نحصل عليها

و (ج *) = و (ج 0) + و ¢ (ج 0) (ج *-ك 0) + ¼ (8)

إذا كانت f ¢ (C 0) ¹ 0 ، ففي (8) يمكننا تقييد أنفسنا بمصطلحات خطية في DC = C-C 0. بالنظر إلى أن f (C *) = 0 ، من (9) يمكننا إيجاد التقريب التالي للجذر

ج 1 \ u003d ج 0 - و (ج 0) / و ¢ (ج 0)

أو للتقريب رقم (n + 1)

ج ن + 1 = ج ن - و (ج ن) / و ¢ (ج ن) (9)

لإنهاء العملية التكرارية ، يمكن استخدام أحد الشرطين

çC n +1 - C n ç

çf (C n +1) ç

يتم إجراء دراسة تقارب طريقة نيوتن بشكل مشابه للحالة السابقة. الحصول على ذلك بشكل مستقل بشرط

f "" (C) / 2f "(C)<1.

طريقة نيوتن لها معدل تقارب تربيعي ().

أرز. 3. التفسير الرسومي لطريقة نيوتن لحل معادلة بالصيغة f (x) = 0.

بناء عدة تقديرات تقريبية متتالية بالصيغة (9)

С 0 ، С 1 ، ... ، С n = C *

هو مبين في الشكل 3.

1. لدالة معينة f (x)

حدد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة f (x) = 0 ، وموقعها والقيم التقريبية (أنشئ رسمًا بيانيًا أو اطبع جدولًا للقيم).

· احسب أحد الجذور التي تم العثور عليها (أي) بدقة e = 0.5 * 10 -3.

بالنسبة للحسابات ، استخدم طريقة قسمة المقطع إلى النصف (حدد عدد التكرارات) ، ثم ابحث عن الجذر نفسه باستخدام طريقة نيوتن (حدد أيضًا عدد خطوات التكرار).

قارن نتائجك.

خيارات المهام

1.x3 –3x 2 + 6x - 5 = 0 2.x3 + sinx –12x-1 = 0

3. x 3 –3x 2 –14x - 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 = 0

5. x 2 + 4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3x 2 + x - 1 = 0 8. x 3 - 0.1x 2 + 0.3x –0.6 = 0

9.10. (س -1) 3 + 0.5 هـ س = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. × 3-4 × 2 -10 × -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24.x4 - 2.9x 3 + 0.1x 2 + 5.8x - 4.2 = 0

25.x4 + 2.83x3 - 4.5x2 -64x-20 = 0 26.

طرق حل نظام المعادلات غير الخطية

1. صياغة المشكلة

فليكن مطلوبًا لحل نظام n من المعادلات غير الخطية:

(1)

لا توجد طرق مباشرة لحل النظام (1). فقط في بعض الحالات يمكن حل هذا النظام مباشرة. على سبيل المثال ، في حالة معادلتين ، من الممكن أحيانًا التعبير عن متغير واحد غير معروف من حيث متغير آخر وبالتالي تقليل المشكلة إلى حل معادلة غير خطية فيما يتعلق بمعادلة غير معروفة.

يمكن كتابة نظام المعادلات (1) باختصار في شكل متجه:

. (2)

يمكن أن تحتوي المعادلة (2) على جذور واحدة أو أكثر في المجال D. مطلوب تحديد وجود جذور المعادلة وإيجاد القيم التقريبية لهذه الجذور. للعثور على الجذور ، عادة ما يتم استخدام الطرق التكرارية ، حيث يكون اختيار التقريب الأولي ذا أهمية أساسية. يُعرف التقريب الأولي أحيانًا من الاعتبارات المادية. في حالة وجود مجهولين ، يمكن إيجاد التقريب الأولي بيانياً: ارسم المنحنيات f 1 (x 1، x 2) = 0 و f 2 (x 1، x 2) = 0 على المستوى (x 1، x 2) ) والعثور على نقاط التقاطع الخاصة بهم. بالنسبة لثلاثة متغيرات أو أكثر (وكذلك للجذور المعقدة) ، لا توجد طرق مُرضية لتحديد التقريب الأولي.

دعونا نفكر في طريقتين تكراريتين رئيسيتين لحل نظام المعادلات (1) ، (2) - طريقة التكرار البسيطة وطريقة نيوتن.

2. طرق حل نظام المعادلات غير الخطية

2.1 طريقة التكرار البسيطة

دعونا نمثل النظام (1) في الشكل

(3)

أو في شكل متجه:

(4)

خوارزمية طريقة التكرار البسيطة هي كما يلي. نختار بعض التقريب الصفري

تم العثور على التقريب التالي بواسطة الصيغ:

أو بمزيد من التفصيل:

(5)

تستمر العملية التكرارية (5) حتى تصبح التغييرات في جميع المجهول في تكرارين متتاليين صغيرة ، أي.

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام عدم المساواة بدلاً من الشرط الأخير:

(6)

أين هي قاعدة جذر متوسط التربيع لمتجه الأبعاد n ، بمعنى آخر.

عند استخدام هذه الطريقة ، يتم تحديد النجاح إلى حد كبير من خلال الاختيار الجيد للتقريب الأولي: يجب أن يكون قريبًا بدرجة كافية من الحل الحقيقي. خلاف ذلك ، قد لا تتقارب العملية التكرارية. إذا تقاربت العملية ، فإن معدل تقاربها يكون خطيًا.

2.2. طريقة نيوتن

في الأدب المترجم ، يمكنك العثور على طريقة اسم نيوتن رافسون. تتقارب هذه الطريقة بشكل أسرع بكثير من طريقة التكرار البسيطة.

دع بعض التقريب إلى الجذر معروفًا ، بحيث